Gruppenpuzzle

Klicke auf die Karten, um die Hinweise zur Untersuchung der Lösungsanzahl einzublenden.

1 Von der Gleichung zum Schaubild

Jede quadratische Gleichung der Form
a · (x - d)² + e = 0
lässt sich durch eine Parabel mit der Gleichung
y = a · (x - d)² + e
geometrisch veranschaulichen. Um die Lösungen der Gleichung zu finden, betrachtet man im Schaubild die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

2 Den Scheitelpunkt S(d|e) lokalisieren

Die Parameter d und e geben euch die exakte Lage des Scheitelpunktes an.
  • Der Wert d bewirkt eine Verschiebung in x-Richtung (Vorsicht beim Vorzeichen in der Klammer!).
  • Der Wert e bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung.
Bestimmt die Koordinaten des Scheitelpunktes S(d|e) und entscheidet, ob dieser oberhalb, unterhalb oder genau auf der x-Achse liegt.

3 Den Streckfaktor a interpretieren

Der Parameter a vor der Klammer bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel:
  • Ist a > 0, ist die Parabel nach oben geöffnet.
  • Ist a < 0, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Setze diese Information nun in Beziehung zur Lage des Scheitelpunktes aus Hinweis 2.

4 Synthese zur Lösungsanzahl

Kombiniere deine Erkenntnisse:
  • Liegt der Scheitelpunkt beispielsweise unterhalb der x-Achse (e < 0) und die Parabel ist nach oben geöffnet (a > 0), muss sie die x-Achse zwangsläufig zweimal schneiden.
  • Liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse (e = 0), gibt es unabhängig von a immer genau einen Schnittpunkt.
  • Liegt der Scheitelpunkt beispielsweise oberhalb der x-Achse (e > 0) und die Parabel ist nach oben geöffnet (a > 0), wird sie die x-Achse nie schneiden.